/ QRZ! Ham Radio 5 / QRZ Ham Radio Callsign Database - Volume 5.iso / files / satelite / orbits / spacetrk.doc

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|00001de0| 24 42 5e 2a 24 20 64 72 | 61 67 20 74 65 72 6d 2e |$B^*$ dr|ag term.|
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|00002210| 2e 20 20 54 68 65 0d 0a | 66 75 6e 63 74 69 6f 6e |.  The..|function|
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|00002c20| 72 61 63 7b 5c 64 64 6e | 5f 6f 7d 36 5c 64 74 5e |rac{\ddn|_o}6\dt^|
|00002c30| 33 5c 5d 0d 0a 77 68 65 | 72 65 20 24 5c 64 74 24 |3\]..whe|re $\dt$|
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|00002ce0| 5c 5b 4c 3d 4c 5f 73 2d | 5c 64 66 72 61 63 31 34 |\[L=L_s-|\dfrac14|
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|00002d70| 7d 2e 5c 5d 0d 0a 0d 0a | 53 6f 6c 76 65 20 4b 65 |}.\]....|Solve Ke|
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|00002dc0| 72 61 63 79 29 2c 0d 0a | 77 68 65 72 65 0d 0a 5c |racy),..|where..\|
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|00002e40| 7b 2d 61 5f 7b 79 4e 53 | 4c 7d 5c 73 69 6e 5c 45 |{-a_{yNS|L}\sin\E|
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|00002e70| 55 3d 4c 2d 5c 4f 6d 65 | 67 61 5f 7b 73 5f 6f 7d |U=L-\Ome|ga_{s_o}|
|00002e80| 5c 5d 0d 0a 61 6e 64 0d | 0a 5c 5b 5c 45 70 6f 5f |\]..and.|.\[\Epo_|
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|00002f30| 73 5c 45 70 6f 5c 5d 0d | 0a 5c 5b 65 5f 4c 7b 7d |s\Epo\].|.\[e_L{}|
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|00002f60| 5c 5b 70 5f 4c 3d 61 28 | 31 2d 65 5f 4c 7b 7d 5e |\[p_L=a(|1-e_L{}^|
|00002f70| 32 29 5c 5d 0d 0a 5c 5b | 72 3d 61 28 31 2d 65 5c |2)\]..\[|r=a(1-e\|
|00002f80| 63 6f 73 20 45 29 5c 5d | 0d 0a 5c 5b 5c 64 72 3d |cos E)\]|..\[\dr=|
|00002f90| 6b 5f 65 5c 64 66 72 61 | 63 7b 5c 73 71 72 74 7b |k_e\dfra|c{\sqrt{|
|00002fa0| 61 7d 7d 72 65 5c 73 69 | 6e 20 45 5c 5d 0d 0a 5c |a}}re\si|n E\]..\|
|00002fb0| 5b 72 5c 64 76 3d 6b 5f | 65 5c 64 66 72 61 63 7b |[r\dv=k_|e\dfrac{|
|00002fc0| 5c 73 71 72 74 7b 70 5f | 4c 7d 7d 72 5c 5d 0d 0a |\sqrt{p_|L}}r\]..|
|00002fd0| 5c 5b 5c 73 69 6e 20 75 | 3d 5c 64 66 72 61 63 7b |\[\sin u|=\dfrac{|
|00002fe0| 61 7d 72 5c 6c 65 66 74 | 5b 5c 73 69 6e 5c 45 70 |a}r\left|[\sin\Ep|
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|00003000| 53 4c 7d 0d 0a 5c 64 66 | 72 61 63 7b 65 5c 73 69 |SL}..\df|rac{e\si|
|00003010| 6e 20 45 7d 7b 31 2b 5c | 73 71 72 74 7b 31 2d 65 |n E}{1+\|sqrt{1-e|
|00003020| 5f 4c 7b 7d 5e 32 7d 7d | 5c 72 69 67 68 74 5d 5c |_L{}^2}}|\right]\|
|00003030| 5d 0d 0a 5c 5b 5c 63 6f | 73 20 75 3d 5c 64 66 72 |]..\[\co|s u=\dfr|
|00003040| 61 63 7b 61 7d 72 5c 6c | 65 66 74 5b 5c 63 6f 73 |ac{a}r\l|eft[\cos|
|00003050| 5c 45 70 6f 2d 61 5f 7b | 78 4e 53 4c 7d 2b 61 5f |\Epo-a_{|xNSL}+a_|
|00003060| 7b 79 4e 53 4c 7d 0d 0a | 5c 64 66 72 61 63 7b 65 |{yNSL}..|\dfrac{e|
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|00003090| 74 5d 5c 5d 0d 0a 5c 5b | 75 3d 5c 74 61 6e 5e 7b |t]\]..\[|u=\tan^{|
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|000030b0| 5c 73 69 6e 20 75 7d 7b | 5c 63 6f 73 20 75 7d 5c |\sin u}{|\cos u}\|
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|000030d0| 72 74 2d 70 65 72 69 6f | 64 20 70 65 72 74 75 72 |rt-perio|d pertur|
|000030e0| 62 61 74 69 6f 6e 73 20 | 61 72 65 20 6e 6f 77 20 |bations |are now |
|000030f0| 69 6e 63 6c 75 64 65 64 | 20 62 79 0d 0a 5c 5b 72 |included| by..\[r|
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|00003110| 5c 64 66 72 61 63 7b 61 | 5f 45 7b 7d 5e 32 7d 7b |\dfrac{a|_E{}^2}{|
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|00003180| 6d 65 67 61 5f 6b 3d 5c | 4f 6d 65 67 61 5f 7b 73 |mega_k=\|Omega_{s|
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|00003930| 2d 73 5e 2a 29 5e 34 3d | 5c 6c 65 66 74 5b 5b 28 |-s^*)^4=|\left[[(|
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|00003990| 70 70 72 6f 70 72 69 61 | 74 65 20 76 61 6c 75 65 |ppropria|te value|
|000039a0| 73 20 6f 66 20 24 73 24 | 20 61 6e 64 0d 0a 24 28 |s of $s$| and..$(|
|000039b0| 71 5f 6f 2d 73 29 5e 34 | 24 29 0d 0a 5c 5b 5c 74 |q_o-s)^4|$)..\[\t|
|000039c0| 68 65 74 61 3d 5c 63 6f | 73 20 69 5f 6f 5c 5d 0d |heta=\co|s i_o\].|
|000039d0| 0a 5c 5b 5c 78 69 3d 5c | 64 66 72 61 63 7b 31 7d |.\[\xi=\|dfrac{1}|
|000039e0| 7b 5c 70 70 61 6f 2d 73 | 7d 5c 5d 0d 0a 5c 5b 5c |{\ppao-s|}\]..\[\|
|000039f0| 62 65 74 61 5f 6f 3d 28 | 31 2d 65 5f 6f 7b 7d 5e |beta_o=(|1-e_o{}^|
|00003a00| 32 29 5e 7b 5c 66 72 61 | 63 31 32 7d 5c 5d 0d 0a |2)^{\fra|c12}\]..|
|00003a10| 5c 5b 5c 65 74 61 3d 5c | 70 70 61 6f 20 65 5f 6f |\[\eta=\|ppao e_o|
|00003a20| 5c 78 69 5c 5d 0d 0a 5c | 5b 43 5f 32 3d 5c 62 65 |\xi\]..\|[C_2=\be|
|00003a30| 67 69 6e 7b 61 72 72 61 | 79 7d 5b 74 5d 7b 6c 7d |gin{arra|y}[t]{l}|
|00003a40| 28 71 5f 6f 2d 73 29 5e | 34 5c 78 69 5e 34 5c 70 |(q_o-s)^|4\xi^4\p|
|00003a50| 70 6e 6f 28 31 2d 5c 65 | 74 61 5e 32 29 5e 7b 2d |pno(1-\e|ta^2)^{-|
|00003a60| 5c 66 72 61 63 37 32 7d | 0d 0a 5c 6c 65 66 74 5b |\frac72}|..\left[|
|00003a70| 5c 70 70 61 6f 5c 6c 65 | 66 74 28 31 2b 5c 64 66 |\ppao\le|ft(1+\df|
|00003a80| 72 61 63 33 32 5c 65 74 | 61 5e 32 2b 34 65 5f 6f |rac32\et|a^2+4e_o|
|00003a90| 5c 65 74 61 2b 65 5f 6f | 5c 65 74 61 5e 33 5c 72 |\eta+e_o|\eta^3\r|
|00003aa0| 69 67 68 74 29 5c 72 69 | 67 68 74 2e 5c 5c 5b 31 |ight)\ri|ght.\\[1|
|00003ab0| 32 70 74 5d 0d 0a 5c 6c | 65 66 74 2e 2b 5c 64 66 |2pt]..\l|eft.+\df|
|00003ac0| 72 61 63 33 32 5c 64 66 | 72 61 63 7b 6b 5f 32 5c |rac32\df|rac{k_2\|
|00003ad0| 78 69 7d 7b 28 31 2d 5c | 65 74 61 5e 32 29 7d 0d |xi}{(1-\|eta^2)}.|
|00003ae0| 0a 5c 6c 65 66 74 28 2d | 5c 64 66 72 61 63 31 32 |.\left(-|\dfrac12|
|00003af0| 2b 5c 64 66 72 61 63 33 | 32 5c 74 68 65 74 61 5e |+\dfrac3|2\theta^|
|00003b00| 32 5c 72 69 67 68 74 29 | 28 38 2b 32 34 5c 65 74 |2\right)|(8+24\et|
|00003b10| 61 5e 32 2b 33 5c 65 74 | 61 5e 34 29 5c 72 69 67 |a^2+3\et|a^4)\rig|
|00003b20| 68 74 5d 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 61 72 72 61 79 7d |ht]..\en|d{array}|
|00003b30| 5c 5d 0d 0a 5c 5b 43 5f | 31 3d 42 5e 2a 43 5f 32 |\]..\[C_|1=B^*C_2|
|00003b40| 5c 5d 0d 0a 5c 5b 43 5f | 33 3d 5c 64 66 72 61 63 |\]..\[C_|3=\dfrac|
|00003b50| 7b 28 71 5f 6f 2d 73 29 | 5e 34 5c 78 69 5e 35 41 |{(q_o-s)|^4\xi^5A|
|00003b60| 5f 7b 33 2c 30 7d 5c 70 | 70 6e 6f 20 61 5f 45 5c |_{3,0}\p|pno a_E\|
|00003b70| 73 69 6e 20 69 5f 6f 7d | 7b 6b 5f 32 65 5f 6f 7d |sin i_o}|{k_2e_o}|
|00003b80| 5c 5d 0d 0a 5c 5b 43 5f | 34 3d 5c 62 65 67 69 6e |\]..\[C_|4=\begin|
|00003b90| 7b 61 72 72 61 79 7d 5b | 74 5d 7b 6c 7d 32 5c 70 |{array}[|t]{l}2\p|
|00003ba0| 70 6e 6f 28 71 5f 6f 2d | 73 29 5e 34 5c 78 69 5e |pno(q_o-|s)^4\xi^|
|00003bb0| 34 5c 70 70 61 6f 5c 62 | 65 74 61 5f 6f 7b 7d 5e |4\ppao\b|eta_o{}^|
|00003bc0| 32 28 31 2d 5c 65 74 61 | 5e 32 29 5e 7b 2d 5c 66 |2(1-\eta|^2)^{-\f|
|00003bd0| 72 61 63 37 32 7d 0d 0a | 5c 62 69 67 67 6c 28 5c |rac72}..|\biggl(\|
|00003be0| 6c 65 66 74 5b 32 5c 65 | 74 61 28 31 2b 65 5f 6f |left[2\e|ta(1+e_o|
|00003bf0| 5c 65 74 61 29 0d 0a 2b | 5c 64 66 72 61 63 31 32 |\eta)..+|\dfrac12|
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|00003c10| 5e 33 5c 72 69 67 68 74 | 5d 2d 5c 64 66 72 61 63 |^3\right|]-\dfrac|
|00003c20| 7b 32 6b 5f 32 5c 78 69 | 7d 7b 5c 70 70 61 6f 28 |{2k_2\xi|}{\ppao(|
|00003c30| 31 2d 5c 65 74 61 5e 32 | 29 7d 5c 74 69 6d 65 73 |1-\eta^2|)}\times|
|00003c40| 5c 5c 5b 31 32 70 74 5d | 0d 0a 5c 6c 65 66 74 5b |\\[12pt]|..\left[|
|00003c50| 33 28 31 2d 33 5c 74 68 | 65 74 61 5e 32 29 0d 0a |3(1-3\th|eta^2)..|
|00003c60| 5c 6c 65 66 74 28 31 2b | 5c 64 66 72 61 63 33 32 |\left(1+|\dfrac32|
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|00003c80| 5c 64 66 72 61 63 31 32 | 65 5f 6f 5c 65 74 61 5e |\dfrac12|e_o\eta^|
|00003c90| 33 5c 72 69 67 68 74 29 | 0d 0a 2b 5c 64 66 72 61 |3\right)|..+\dfra|
|00003ca0| 63 33 34 28 31 2d 5c 74 | 68 65 74 61 5e 32 29 28 |c34(1-\t|heta^2)(|
|00003cb0| 32 5c 65 74 61 5e 32 2d | 65 5f 6f 5c 65 74 61 2d |2\eta^2-|e_o\eta-|
|00003cc0| 65 5f 6f 5c 65 74 61 5e | 33 29 5c 63 6f 73 20 32 |e_o\eta^|3)\cos 2|
|00003cd0| 5c 6f 6d 65 67 61 5f 6f | 5c 72 69 67 68 74 5d 5c |\omega_o|\right]\|
|00003ce0| 62 69 67 67 72 29 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 |biggr)..|\end{arr|
|00003cf0| 61 79 7d 5c 5d 0d 0a 5c | 5b 43 5f 35 3d 32 28 71 |ay}\]..\|[C_5=2(q|
|00003d00| 5f 6f 2d 73 29 5e 34 5c | 78 69 5e 34 5c 70 70 61 |_o-s)^4\|xi^4\ppa|
|00003d10| 6f 5c 62 65 74 61 5f 6f | 7b 7d 5e 32 28 31 2d 5c |o\beta_o|{}^2(1-\|
|00003d20| 65 74 61 5e 32 29 5e 7b | 2d 5c 66 72 61 63 37 32 |eta^2)^{|-\frac72|
|00003d30| 7d 0d 0a 5c 6c 65 66 74 | 5b 31 2b 5c 64 66 72 61 |}..\left|[1+\dfra|
|00003d40| 63 7b 31 31 7d 34 5c 65 | 74 61 28 5c 65 74 61 2b |c{11}4\e|ta(\eta+|
|00003d50| 65 5f 6f 29 2b 65 5f 6f | 5c 65 74 61 5e 33 5c 72 |e_o)+e_o|\eta^3\r|
|00003d60| 69 67 68 74 5d 5c 5d 0d | 0a 5c 5b 44 5f 32 3d 34 |ight]\].|.\[D_2=4|
|00003d70| 5c 70 70 61 6f 5c 78 69 | 20 43 5f 31 7b 7d 5e 32 |\ppao\xi| C_1{}^2|
|00003d80| 5c 5d 0d 0a 5c 5b 44 5f | 33 3d 5c 64 66 72 61 63 |\]..\[D_|3=\dfrac|
|00003d90| 34 33 5c 70 70 61 6f 5c | 78 69 5e 32 28 31 37 5c |43\ppao\|xi^2(17\|
|00003da0| 70 70 61 6f 2b 73 29 43 | 5f 31 7b 7d 5e 33 5c 5d |ppao+s)C|_1{}^3\]|
|00003db0| 0d 0a 5c 5b 44 5f 34 3d | 5c 64 66 72 61 63 32 33 |..\[D_4=|\dfrac23|
|00003dc0| 5c 70 70 61 6f 5c 78 69 | 5e 33 28 32 32 31 5c 70 |\ppao\xi|^3(221\p|
|00003dd0| 70 61 6f 2b 33 31 73 29 | 43 5f 31 7b 7d 5e 34 2e |pao+31s)|C_1{}^4.|
|00003de0| 5c 5d 0d 0a 0d 0a 54 68 | 65 20 73 65 63 75 6c 61 |\]....Th|e secula|
|00003df0| 72 20 65 66 66 65 63 74 | 73 20 6f 66 20 61 74 6d |r effect|s of atm|
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|00003e40| 73 0d 0a 5c 5b 4d 5f 7b | 44 46 7d 3d 4d 5f 6f 2b |s..\[M_{|DF}=M_o+|
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|00003e80| 74 61 5f 6f 7b 7d 5e 33 | 7d 0d 0a 2b 5c 64 66 72 |ta_o{}^3|}..+\dfr|
|00003e90| 61 63 7b 33 6b 5f 32 7b | 7d 5e 32 28 31 33 2d 37 |ac{3k_2{|}^2(13-7|
|00003ea0| 38 5c 74 68 65 74 61 5e | 32 2b 31 33 37 5c 74 68 |8\theta^|2+137\th|
|00003eb0| 65 74 61 5e 34 29 7d 7b | 31 36 5c 70 70 61 6f 7b |eta^4)}{|16\ppao{|
|00003ec0| 7d 5e 34 5c 62 65 74 61 | 5f 6f 7b 7d 5e 37 7d 5c |}^4\beta|_o{}^7}\|
|00003ed0| 72 69 67 68 74 5d 0d 0a | 5c 70 70 6e 6f 5c 64 74 |right]..|\ppno\dt|
|00003ee0| 5c 5d 0d 0a 5c 5b 5c 6f | 6d 65 67 61 5f 7b 44 46 |\]..\[\o|mega_{DF|
|00003ef0| 7d 3d 5c 62 65 67 69 6e | 7b 61 72 72 61 79 7d 5b |}=\begin|{array}[|
|00003f00| 74 5d 7b 6c 7d 5c 6f 6d | 65 67 61 5f 6f 2b 5c 6c |t]{l}\om|ega_o+\l|
|00003f10| 65 66 74 5b 2d 5c 64 66 | 72 61 63 7b 33 6b 5f 32 |eft[-\df|rac{3k_2|
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|00003f30| 5c 70 70 61 6f 7b 7d 5e | 32 5c 62 65 74 61 5f 6f |\ppao{}^|2\beta_o|
|00003f40| 7b 7d 5e 34 7d 0d 0a 2b | 5c 64 66 72 61 63 7b 33 |{}^4}..+|\dfrac{3|
|00003f50| 6b 5f 32 7b 7d 5e 32 28 | 37 2d 31 31 34 5c 74 68 |k_2{}^2(|7-114\th|
|00003f60| 65 74 61 5e 32 2b 33 39 | 35 5c 74 68 65 74 61 5e |eta^2+39|5\theta^|
|00003f70| 34 29 7d 7b 31 36 5c 70 | 70 61 6f 7b 7d 5e 34 5c |4)}{16\p|pao{}^4\|
|00003f80| 62 65 74 61 5f 6f 7b 7d | 5e 38 7d 5c 72 69 67 68 |beta_o{}|^8}\righ|
|00003f90| 74 2e 5c 5c 5b 31 32 70 | 74 5d 0d 0a 5c 6c 65 66 |t.\\[12p|t]..\lef|
|00003fa0| 74 2e 2b 5c 64 66 72 61 | 63 7b 35 6b 5f 34 28 33 |t.+\dfra|c{5k_4(3|
|00003fb0| 2d 33 36 5c 74 68 65 74 | 61 5e 32 2b 34 39 5c 74 |-36\thet|a^2+49\t|
|00003fc0| 68 65 74 61 5e 34 29 7d | 7b 34 5c 70 70 61 6f 7b |heta^4)}|{4\ppao{|
|00003fd0| 7d 5e 34 5c 62 65 74 61 | 5f 6f 7b 7d 5e 38 7d 5c |}^4\beta|_o{}^8}\|
|00003fe0| 72 69 67 68 74 5d 5c 70 | 70 6e 6f 5c 64 74 0d 0a |right]\p|pno\dt..|
|00003ff0| 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | 61 79 7d 5c 5d 0d 0a 5c |\end{arr|ay}\]..\|
|00004000| 5b 5c 4f 6d 65 67 61 5f | 7b 44 46 7d 3d 5c 4f 6d |[\Omega_|{DF}=\Om|
|00004010| 65 67 61 5f 6f 2b 5c 6c | 65 66 74 5b 2d 5c 64 66 |ega_o+\l|eft[-\df|
|00004020| 72 61 63 7b 33 6b 5f 32 | 5c 74 68 65 74 61 7d 7b |rac{3k_2|\theta}{|
|00004030| 5c 70 70 61 6f 7b 7d 5e | 32 5c 62 65 74 61 5f 6f |\ppao{}^|2\beta_o|
|00004040| 7b 7d 5e 34 7d 0d 0a 2b | 5c 64 66 72 61 63 7b 33 |{}^4}..+|\dfrac{3|
|00004050| 6b 5f 32 7b 7d 5e 32 28 | 34 5c 74 68 65 74 61 2d |k_2{}^2(|4\theta-|
|00004060| 31 39 5c 74 68 65 74 61 | 5e 33 29 7d 7b 32 5c 70 |19\theta|^3)}{2\p|
|00004070| 70 61 6f 7b 7d 5e 34 5c | 62 65 74 61 5f 6f 7b 7d |pao{}^4\|beta_o{}|
|00004080| 5e 38 7d 0d 0a 2b 5c 64 | 66 72 61 63 7b 35 6b 5f |^8}..+\d|frac{5k_|
|00004090| 34 5c 74 68 65 74 61 28 | 33 2d 37 5c 74 68 65 74 |4\theta(|3-7\thet|
|000040a0| 61 5e 32 29 7d 7b 32 5c | 70 70 61 6f 7b 7d 5e 34 |a^2)}{2\|ppao{}^4|
|000040b0| 5c 62 65 74 61 5f 6f 7b | 7d 5e 38 7d 5c 72 69 67 |\beta_o{|}^8}\rig|
|000040c0| 68 74 5d 5c 70 70 6e 6f | 5c 64 74 5c 5d 0d 0a 5c |ht]\ppno|\dt\]..\|
|000040d0| 5b 5c 64 65 6c 74 61 5c | 6f 6d 65 67 61 3d 42 5e |[\delta\|omega=B^|
|000040e0| 2a 43 5f 33 28 5c 63 6f | 73 5c 6f 6d 65 67 61 5f |*C_3(\co|s\omega_|
|000040f0| 6f 29 5c 64 74 5c 5d 0d | 0a 5c 5b 5c 64 65 6c 74 |o)\dt\].|.\[\delt|
|00004100| 61 20 4d 3d 2d 5c 64 66 | 72 61 63 32 33 28 71 5f |a M=-\df|rac23(q_|
|00004110| 6f 2d 73 29 5e 34 42 5e | 2a 5c 78 69 5e 34 5c 64 |o-s)^4B^|*\xi^4\d|
|00004120| 66 72 61 63 7b 61 5f 45 | 7d 7b 65 5f 6f 5c 65 74 |frac{a_E|}{e_o\et|
|00004130| 61 7d 0d 0a 5b 28 31 2b | 5c 65 74 61 5c 63 6f 73 |a}..[(1+|\eta\cos|
|00004140| 20 4d 5f 7b 44 46 7d 29 | 5e 33 2d 28 31 2b 5c 65 | M_{DF})|^3-(1+\e|
|00004150| 74 61 5c 63 6f 73 20 4d | 5f 6f 29 5e 33 5d 5c 5d |ta\cos M|_o)^3]\]|
|00004160| 0d 0a 5c 5b 4d 5f 70 3d | 4d 5f 7b 44 46 7d 2b 5c |..\[M_p=|M_{DF}+\|
|00004170| 64 65 6c 74 61 5c 6f 6d | 65 67 61 2b 5c 64 65 6c |delta\om|ega+\del|
|00004180| 74 61 20 4d 5c 5d 0d 0a | 5c 5b 5c 6f 6d 65 67 61 |ta M\]..|\[\omega|
|00004190| 3d 5c 6f 6d 65 67 61 5f | 7b 44 46 7d 2d 5c 64 65 |=\omega_|{DF}-\de|
|000041a0| 6c 74 61 5c 6f 6d 65 67 | 61 2d 5c 64 65 6c 74 61 |lta\omeg|a-\delta|
|000041b0| 20 4d 5c 5d 0d 0a 5c 5b | 5c 4f 6d 65 67 61 3d 5c | M\]..\[|\Omega=\|
|000041c0| 4f 6d 65 67 61 5f 7b 44 | 46 7d 2d 5c 64 66 72 61 |Omega_{D|F}-\dfra|
|000041d0| 63 7b 32 31 7d 32 5c 64 | 66 72 61 63 7b 5c 70 70 |c{21}2\d|frac{\pp|
|000041e0| 6e 6f 20 6b 5f 32 5c 74 | 68 65 74 61 7d 7b 5c 70 |no k_2\t|heta}{\p|
|000041f0| 70 61 6f 7b 7d 5e 32 5c | 62 65 74 61 5f 6f 7b 7d |pao{}^2\|beta_o{}|
|00004200| 5e 32 7d 0d 0a 43 5f 31 | 5c 64 74 5e 32 5c 5d 0d |^2}..C_1|\dt^2\].|
|00004210| 0a 5c 5b 65 3d 65 5f 6f | 2d 42 5e 2a 43 5f 34 5c |.\[e=e_o|-B^*C_4\|
|00004220| 64 74 2d 42 5e 2a 43 5f | 35 28 5c 73 69 6e 20 4d |dt-B^*C_|5(\sin M|
|00004230| 5f 70 2d 5c 73 69 6e 20 | 4d 5f 6f 29 5c 5d 0d 0a |_p-\sin |M_o)\]..|
|00004240| 5c 5b 61 3d 5c 70 70 61 | 6f 5b 31 2d 43 5f 31 5c |\[a=\ppa|o[1-C_1\|
|00004250| 64 74 2d 44 5f 32 5c 64 | 74 5e 32 2d 44 5f 33 5c |dt-D_2\d|t^2-D_3\|
|00004260| 64 74 5e 33 2d 44 5f 34 | 5c 64 74 5e 34 5d 5e 32 |dt^3-D_4|\dt^4]^2|
|00004270| 5c 5d 0d 0a 5c 5b 5c 4c | 3d 5c 62 65 67 69 6e 7b |\]..\[\L|=\begin{|
|00004280| 61 72 72 61 79 7d 5b 74 | 5d 7b 6c 7d 0d 0a 4d 5f |array}[t|]{l}..M_|
|00004290| 70 2b 5c 6f 6d 65 67 61 | 2b 5c 4f 6d 65 67 61 2b |p+\omega|+\Omega+|
|000042a0| 5c 70 70 6e 6f 5c 6c 65 | 66 74 5b 5c 64 66 72 61 |\ppno\le|ft[\dfra|
|000042b0| 63 33 32 43 5f 31 5c 64 | 74 5e 32 2b 28 44 5f 32 |c32C_1\d|t^2+(D_2|
|000042c0| 2b 32 43 5f 31 7b 7d 5e | 32 29 5c 64 74 5e 33 5c |+2C_1{}^|2)\dt^3\|
|000042d0| 72 69 67 68 74 2e 5c 5c | 5b 31 32 70 74 5d 0d 0a |right.\\|[12pt]..|
|000042e0| 2b 5c 64 66 72 61 63 31 | 34 28 33 44 5f 33 2b 31 |+\dfrac1|4(3D_3+1|
|000042f0| 32 43 5f 31 44 5f 32 2b | 31 30 43 5f 31 7b 7d 5e |2C_1D_2+|10C_1{}^|
|00004300| 33 29 5c 64 74 5e 34 5c | 5c 5b 31 32 70 74 5d 0d |3)\dt^4\|\[12pt].|
|00004310| 0a 5c 6c 65 66 74 2e 2b | 5c 64 66 72 61 63 31 35 |.\left.+|\dfrac15|
|00004320| 28 33 44 5f 34 2b 31 32 | 43 5f 31 44 5f 33 2b 36 |(3D_4+12|C_1D_3+6|
|00004330| 44 5f 32 7b 7d 5e 32 2b | 33 30 43 5f 31 7b 7d 5e |D_2{}^2+|30C_1{}^|
|00004340| 32 44 5f 32 2b 31 35 43 | 5f 31 7b 7d 5e 34 29 5c |2D_2+15C|_1{}^4)\|
|00004350| 64 74 5e 35 5c 72 69 67 | 68 74 5d 0d 0a 5c 65 6e |dt^5\rig|ht]..\en|
|00004360| 64 7b 61 72 72 61 79 7d | 5c 5d 0d 0a 5c 5b 5c 62 |d{array}|\]..\[\b|
|00004370| 65 74 61 3d 5c 73 71 72 | 74 7b 28 31 2d 65 5e 32 |eta=\sqr|t{(1-e^2|
|00004380| 29 7d 5c 5d 0d 0a 5c 5b | 6e 3d 6b 5f 65 5c 62 69 |)}\]..\[|n=k_e\bi|
|00004390| 67 67 2f 61 5e 7b 5c 66 | 72 61 63 33 32 7d 5c 5d |gg/a^{\f|rac32}\]|
|000043a0| 0d 0a 77 68 65 72 65 20 | 24 5c 64 74 24 20 69 73 |..where |$\dt$ is|
|000043b0| 20 74 69 6d 65 20 73 69 | 6e 63 65 20 65 70 6f 63 | time si|nce epoc|
|000043c0| 68 2e 20 20 49 74 20 73 | 68 6f 75 6c 64 20 62 65 |h.  It s|hould be|
|000043d0| 20 6e 6f 74 65 64 20 74 | 68 61 74 20 77 68 65 6e | noted t|hat when|
|000043e0| 20 65 70 6f 63 68 20 70 | 65 72 69 67 65 65 0d 0a | epoch p|erigee..|
|000043f0| 68 65 69 67 68 74 20 69 | 73 20 6c 65 73 73 20 74 |height i|s less t|
|00004400| 68 61 6e 20 32 32 30 20 | 6b 69 6c 6f 6d 65 74 65 |han 220 |kilomete|
|00004410| 72 73 2c 20 74 68 65 20 | 65 71 75 61 74 69 6f 6e |rs, the |equation|
|00004420| 73 20 66 6f 72 20 24 61 | 24 20 61 6e 64 20 24 5c |s for $a|$ and $\|
|00004430| 4c 24 20 61 72 65 0d 0a | 74 72 75 6e 63 61 74 65 |L$ are..|truncate|
|00004440| 64 20 61 66 74 65 72 20 | 74 68 65 20 24 43 5f 31 |d after |the $C_1|
|00004450| 24 20 74 65 72 6d 2c 20 | 61 6e 64 20 74 68 65 20 |$ term, |and the |
|00004460| 74 65 72 6d 73 20 69 6e | 76 6f 6c 76 69 6e 67 20 |terms in|volving |
|00004470| 24 43 5f 35 24 2c 20 24 | 5c 64 65 6c 74 61 5c 6f |$C_5$, $|\delta\o|
|00004480| 6d 65 67 61 24 2c 0d 0a | 61 6e 64 20 24 5c 64 65 |mega$,..|and $\de|
|00004490| 6c 74 61 20 4d 24 20 61 | 72 65 20 64 72 6f 70 70 |lta M$ a|re dropp|
|000044a0| 65 64 2e 0d 0a 0d 0a 41 | 64 64 20 74 68 65 20 6c |ed.....A|dd the l|
|000044b0| 6f 6e 67 2d 70 65 72 69 | 6f 64 20 70 65 72 69 6f |ong-peri|od perio|
|000044c0| 64 69 63 20 74 65 72 6d | 73 0d 0a 5c 5b 61 5f 7b |dic term|s..\[a_{|
|000044d0| 78 4e 7d 3d 65 5c 63 6f | 73 5c 6f 6d 65 67 61 5c |xN}=e\co|s\omega\|
|000044e0| 5d 0d 0a 5c 5b 5c 4c 5f | 4c 3d 5c 64 66 72 61 63 |]..\[\L_|L=\dfrac|
|000044f0| 7b 41 5f 7b 33 2c 30 7d | 5c 73 69 6e 20 69 5f 6f |{A_{3,0}|\sin i_o|
|00004500| 7d 7b 38 6b 5f 32 61 5c | 62 65 74 61 5e 32 7d 28 |}{8k_2a\|beta^2}(|
|00004510| 65 5c 63 6f 73 5c 6f 6d | 65 67 61 29 0d 0a 5c 6c |e\cos\om|ega)..\l|
|00004520| 65 66 74 28 5c 64 66 72 | 61 63 7b 33 2b 35 5c 74 |eft(\dfr|ac{3+5\t|
|00004530| 68 65 74 61 7d 7b 31 2b | 5c 74 68 65 74 61 7d 5c |heta}{1+|\theta}\|
|00004540| 72 69 67 68 74 29 5c 5d | 0d 0a 5c 5b 61 5f 7b 79 |right)\]|..\[a_{y|
|00004550| 4e 4c 7d 3d 5c 64 66 72 | 61 63 7b 41 5f 7b 33 2c |NL}=\dfr|ac{A_{3,|
|00004560| 30 7d 5c 73 69 6e 20 69 | 5f 6f 7d 7b 34 6b 5f 32 |0}\sin i|_o}{4k_2|
|00004570| 61 5c 62 65 74 61 5e 32 | 7d 5c 5d 0d 0a 5c 5b 5c |a\beta^2|}\]..\[\|
|00004580| 4c 5f 54 3d 5c 4c 2b 5c | 4c 5f 4c 5c 5d 0d 0a 5c |L_T=\L+\|L_L\]..\|
|00004590| 5b 61 5f 7b 79 4e 7d 3d | 65 5c 73 69 6e 5c 6f 6d |[a_{yN}=|e\sin\om|
|000045a0| 65 67 61 2b 61 5f 7b 79 | 4e 4c 7d 2e 5c 5d 0d 0a |ega+a_{y|NL}.\]..|
|000045b0| 0d 0a 53 6f 6c 76 65 20 | 4b 65 70 6c 65 72 27 73 |..Solve |Kepler's|
|000045c0| 20 65 71 75 61 74 69 6f | 6e 20 66 6f 72 20 24 5c | equatio|n for $\|
|000045d0| 45 70 6f 24 20 62 79 20 | 64 65 66 69 6e 69 6e 67 |Epo$ by |defining|
|000045e0| 0d 0a 5c 5b 55 3d 5c 4c | 5f 54 2d 5c 4f 6d 65 67 |..\[U=\L|_T-\Omeg|
|000045f0| 61 5c 5d 0d 0a 61 6e 64 | 20 75 73 69 6e 67 20 74 |a\]..and| using t|
|00004600| 68 65 20 69 74 65 72 61 | 74 69 6f 6e 20 65 71 75 |he itera|tion equ|
|00004610| 61 74 69 6f 6e 0d 0a 5c | 5b 5c 45 70 6f 5f 7b 69 |ation..\|[\Epo_{i|
|00004620| 2b 31 7d 3d 5c 45 70 6f | 5f 69 2b 5c 44 65 6c 74 |+1}=\Epo|_i+\Delt|
|00004630| 61 5c 45 70 6f 5f 69 5c | 5d 0d 0a 77 69 74 68 0d |a\Epo_i\|]..with.|
|00004640| 0a 5c 5b 5c 44 65 6c 74 | 61 5c 45 70 6f 5f 69 20 |.\[\Delt|a\Epo_i |
|00004650| 3d 0d 0a 5c 64 66 72 61 | 63 7b 55 2d 61 5f 7b 79 |=..\dfra|c{U-a_{y|
|00004660| 4e 7d 5c 63 6f 73 5c 45 | 70 6f 5f 69 2b 61 5f 7b |N}\cos\E|po_i+a_{|
|00004670| 78 4e 7d 5c 73 69 6e 5c | 45 70 6f 5f 69 2d 5c 45 |xN}\sin\|Epo_i-\E|
|00004680| 70 6f 5f 69 7d 0d 0a 7b | 2d 61 5f 7b 79 4e 7d 5c |po_i}..{|-a_{yN}\|
|00004690| 73 69 6e 5c 45 70 6f 5f | 69 2d 61 5f 7b 78 4e 7d |sin\Epo_|i-a_{xN}|
|000046a0| 5c 63 6f 73 5c 45 70 6f | 5f 69 2b 31 7d 5c 5d 0d |\cos\Epo|_i+1}\].|
|000046b0| 0a 61 6e 64 0d 0a 5c 5b | 5c 45 70 6f 5f 31 3d 55 |.and..\[|\Epo_1=U|
|000046c0| 2e 5c 5d 0d 0a 0d 0a 54 | 68 65 20 66 6f 6c 6c 6f |.\]....T|he follo|
|000046d0| 77 69 6e 67 20 65 71 75 | 61 74 69 6f 6e 73 20 61 |wing equ|ations a|
|000046e0| 72 65 20 75 73 65 64 20 | 74 6f 20 63 61 6c 63 75 |re used |to calcu|
|000046f0| 6c 61 74 65 20 70 72 65 | 6c 69 6d 69 6e 61 72 79 |late pre|liminary|
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|00004760| 73 69 6e 20 45 3d 61 5f | 7b 78 4e 7d 5c 73 69 6e |sin E=a_|{xN}\sin|
|00004770| 5c 45 70 6f 2d 61 5f 7b | 79 4e 7d 5c 63 6f 73 5c |\Epo-a_{|yN}\cos\|
|00004780| 45 70 6f 5c 5d 0d 0a 5c | 5b 65 5f 4c 3d 28 61 5f |Epo\]..\|[e_L=(a_|
|00004790| 7b 78 4e 7d 7b 7d 5e 32 | 2b 61 5f 7b 79 4e 7d 7b |{xN}{}^2|+a_{yN}{|
|000047a0| 7d 5e 32 29 5e 7b 5c 66 | 72 61 63 31 32 7d 5c 5d |}^2)^{\f|rac12}\]|
|000047b0| 0d 0a 5c 5b 70 5f 4c 3d | 61 28 31 2d 65 5f 4c 7b |..\[p_L=|a(1-e_L{|
|000047c0| 7d 5e 32 29 5c 5d 0d 0a | 5c 5b 72 3d 61 28 31 2d |}^2)\]..|\[r=a(1-|
|000047d0| 65 5c 63 6f 73 20 45 29 | 5c 5d 0d 0a 5c 5b 5c 64 |e\cos E)|\]..\[\d|
|000047e0| 72 3d 6b 5f 65 5c 64 66 | 72 61 63 7b 5c 73 71 72 |r=k_e\df|rac{\sqr|
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|00004800| 0a 5c 5b 72 5c 64 66 3d | 6b 5f 65 5c 64 66 72 61 |.\[r\df=|k_e\dfra|
|00004810| 63 7b 5c 73 71 72 74 7b | 70 5f 4c 7d 7d 72 5c 5d |c{\sqrt{|p_L}}r\]|
|00004820| 0d 0a 5c 5b 5c 63 6f 73 | 20 75 3d 5c 64 66 72 61 |..\[\cos| u=\dfra|
|00004830| 63 7b 61 7d 72 5c 6c 65 | 66 74 5b 5c 63 6f 73 5c |c{a}r\le|ft[\cos\|
|00004840| 45 70 6f 2d 61 5f 7b 78 | 4e 7d 2b 0d 0a 5c 64 66 |Epo-a_{x|N}+..\df|
|00004850| 72 61 63 7b 61 5f 7b 79 | 4e 7d 28 65 5c 73 69 6e |rac{a_{y|N}(e\sin|
|00004860| 20 45 29 7d 7b 31 2b 5c | 73 71 72 74 7b 31 2d 65 | E)}{1+\|sqrt{1-e|
|00004870| 5f 4c 7b 7d 5e 32 7d 7d | 5c 72 69 67 68 74 5d 5c |_L{}^2}}|\right]\|
|00004880| 5d 0d 0a 5c 5b 5c 73 69 | 6e 20 75 3d 5c 64 66 72 |]..\[\si|n u=\dfr|
|00004890| 61 63 7b 61 7d 72 5c 6c | 65 66 74 5b 5c 73 69 6e |ac{a}r\l|eft[\sin|
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|000048c0| 6e 20 45 29 7d 7b 31 2b | 5c 73 71 72 74 7b 31 2d |n E)}{1+|\sqrt{1-|
|000048d0| 65 5f 4c 7b 7d 5e 32 7d | 7d 5c 72 69 67 68 74 5d |e_L{}^2}|}\right]|
|000048e0| 5c 5d 0d 0a 5c 5b 75 3d | 5c 74 61 6e 5e 7b 2d 31 |\]..\[u=|\tan^{-1|
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|00004910| 67 68 74 29 5c 5d 0d 0a | 5c 5b 5c 44 65 6c 74 61 |ght)\]..|\[\Delta|
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|00004980| 5c 5d 0d 0a 5c 5b 5c 44 | 65 6c 74 61 5c 4f 6d 65 |\]..\[\D|elta\Ome|
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|000049b0| 73 69 6e 20 32 75 5c 5d | 0d 0a 5c 5b 5c 44 65 6c |sin 2u\]|..\[\Del|
|000049c0| 74 61 20 69 3d 5c 64 66 | 72 61 63 7b 33 6b 5f 32 |ta i=\df|rac{3k_2|
|000049d0| 5c 74 68 65 74 61 7d 7b | 32 70 5f 4c 7b 7d 5e 32 |\theta}{|2p_L{}^2|
|000049e0| 7d 5c 73 69 6e 20 69 5f | 6f 5c 63 6f 73 20 32 75 |}\sin i_|o\cos 2u|
|000049f0| 5c 5d 0d 0a 5c 5b 5c 44 | 65 6c 74 61 5c 64 72 3d |\]..\[\D|elta\dr=|
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|00004a10| 4c 7d 28 31 2d 5c 74 68 | 65 74 61 5e 32 29 5c 73 |L}(1-\th|eta^2)\s|
|00004a20| 69 6e 20 32 75 5c 5d 0d | 0a 5c 5b 5c 44 65 6c 74 |in 2u\].|.\[\Delt|
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|00004a40| 32 6e 7d 7b 70 5f 4c 7d | 5c 6c 65 66 74 5b 28 31 |2n}{p_L}|\left[(1|
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|00004a70| 5c 74 68 65 74 61 5e 32 | 29 5c 72 69 67 68 74 5d |\theta^2|)\right]|
|00004a80| 5c 5d 0d 0a 0d 0a 54 68 | 65 20 73 68 6f 72 74 2d |\]....Th|e short-|
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|00004b20| 5c 44 65 6c 74 61 20 72 | 5c 5d 0d 0a 5c 5b 75 5f |\Delta r|\]..\[u_|
|00004b30| 6b 3d 75 2b 5c 44 65 6c | 74 61 20 75 5c 5d 0d 0a |k=u+\Del|ta u\]..|
|00004b40| 5c 5b 5c 4f 6d 65 67 61 | 5f 6b 3d 5c 4f 6d 65 67 |\[\Omega|_k=\Omeg|
|00004b50| 61 2b 5c 44 65 6c 74 61 | 5c 4f 6d 65 67 61 5c 5d |a+\Delta|\Omega\]|
|00004b60| 0d 0a 5c 5b 69 5f 6b 3d | 69 5f 6f 2b 5c 44 65 6c |..\[i_k=|i_o+\Del|
|00004b70| 74 61 20 69 5c 5d 0d 0a | 5c 5b 5c 64 72 5f 6b 3d |ta i\]..|\[\dr_k=|
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|00004b90| 0a 5c 5b 72 5c 64 66 5f | 6b 3d 72 5c 64 66 2b 5c |.\[r\df_|k=r\df+\|
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|00004be0| 5c 5b 5c 55 76 65 63 3d | 5c 4d 76 65 63 5c 73 69 |\[\Uvec=|\Mvec\si|
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|00004c10| 4d 76 65 63 5c 63 6f 73 | 20 75 5f 6b 2d 5c 4e 76 |Mvec\cos| u_k-\Nv|
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|00004c30| 65 72 65 0d 0a 5c 5b 5c | 4d 76 65 63 3d 5c 6c 65 |ere..\[\|Mvec=\le|
|00004c40| 66 74 5c 7b 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 61 72 72 61 79 |ft\{\beg|in{array|
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|00004c60| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |        |        |
|00004c70| 4d 5f 78 3d 2d 5c 73 69 | 6e 5c 4f 6d 65 67 61 5f |M_x=-\si|n\Omega_|
|00004c80| 6b 5c 63 6f 73 20 69 5f | 6b 5c 5c 0d 0a 20 20 20 |k\cos i_|k\\..   |
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|00004cd0| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 4d 5f 7a |        |     M_z|
|00004ce0| 3d 5c 73 69 6e 20 69 5f | 6b 0d 0a 20 20 20 20 20 |=\sin i_|k..     |
|00004cf0| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |        |        |
|00004d00| 20 20 20 20 5c 65 6e 64 | 7b 61 72 72 61 79 7d 5c |    \end|{array}\|
|00004d10| 72 69 67 68 74 5c 7d 5c | 5d 0d 0a 5c 5b 5c 4e 76 |right\}\|]..\[\Nv|
|00004d20| 65 63 3d 5c 6c 65 66 74 | 5c 7b 5c 62 65 67 69 6e |ec=\left|\{\begin|
|00004d30| 7b 61 72 72 61 79 7d 7b | 6c 7d 0d 0a 20 20 20 20 |{array}{|l}..    |
|00004d40| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |        |        |
|00004d50| 20 20 20 20 20 20 4e 5f | 78 3d 5c 63 6f 73 5c 4f |      N_|x=\cos\O|
|00004d60| 6d 65 67 61 5f 6b 5c 5c | 0d 0a 20 20 20 20 20 20 |mega_k\\|..      |
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|00004d90| 67 61 5f 6b 5c 5c 0d 0a | 20 20 20 20 20 20 20 20 |ga_k\\..|        |
|00004da0| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |        |        |
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|00004dc0| 20 20 20 20 20 20 20 20 | 20 20 20 20 20 20 20 20 |        |        |
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|00004e90| 69 73 20 67 69 76 65 6e | 20 62 65 6c 6f 77 2e 0d |is given| below..|
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|000052b0| 5c 5d 0d 0a 46 6f 72 20 | 70 65 72 69 67 65 65 20 |\]..For |perigee |
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|000052d0| 65 72 73 2c 20 74 68 65 | 20 76 61 6c 75 65 20 6f |ers, the| value o|
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|000052f0| 20 74 6f 0d 0a 5c 5b 73 | 5e 2a 3d 32 30 2f 5c 6d | to..\[s|^*=20/\m|
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|00005310| 5c 5d 0d 0a 49 66 20 74 | 68 65 20 76 61 6c 75 65 |\]..If t|he value|
|00005320| 20 6f 66 20 24 73 24 20 | 69 73 20 63 68 61 6e 67 | of $s$ |is chang|
|00005330| 65 64 2c 20 74 68 65 6e | 20 74 68 65 20 76 61 6c |ed, then| the val|
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|00005350| 24 20 6d 75 73 74 20 62 | 65 20 72 65 70 6c 61 63 |$ must b|e replac|
|00005360| 65 64 0d 0a 62 79 0d 0a | 5c 5b 28 71 5f 6f 2d 73 |ed..by..|\[(q_o-s|
|00005370| 5e 2a 29 5e 34 3d 5c 6c | 65 66 74 5b 5b 28 71 5f |^*)^4=\l|eft[[(q_|
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|000053a0| 2e 5c 5d 0d 0a 54 68 65 | 6e 20 63 61 6c 63 75 6c |.\]..The|n calcul|
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|000053e0| 6f 66 20 24 73 24 20 61 | 6e 64 0d 0a 24 28 71 5f |of $s$ a|nd..$(q_|
|000053f0| 6f 2d 73 29 5e 34 24 29 | 0d 0a 5c 5b 5c 74 68 65 |o-s)^4$)|..\[\the|
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|00005430| 74 61 5f 6f 3d 28 31 2d | 65 5f 6f 7b 7d 5e 32 29 |ta_o=(1-|e_o{}^2)|
|00005440| 5e 7b 5c 66 72 61 63 31 | 32 7d 5c 5d 0d 0a 5c 5b |^{\frac1|2}\]..\[|
|00005450| 5c 65 74 61 3d 5c 70 70 | 61 6f 20 65 5f 6f 5c 78 |\eta=\pp|ao e_o\x|
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|000054d0| 6f 5c 65 74 61 5e 33 29 | 5c 72 69 67 68 74 2e 5c |o\eta^3)|\right.\|
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|00005c00| 6c 75 64 65 64 20 69 6e | 20 74 68 65 20 72 65 6d |luded in| the rem|
|00005c10| 61 69 6e 69 6e 67 20 65 | 6c 65 6d 65 6e 74 73 20 |aining e|lements |
|00005c20| 62 79 0d 0a 5c 5b 61 3d | 61 5f 7b 44 53 7d 5b 31 |by..\[a=|a_{DS}[1|
|00005c30| 2d 43 5f 31 5c 64 74 5d | 5e 32 5c 5d 0d 0a 5c 5b |-C_1\dt]|^2\]..\[|
|00005c40| 65 3d 65 5f 7b 44 53 7d | 2d 42 5e 2a 43 5f 34 5c |e=e_{DS}|-B^*C_4\|
|00005c50| 64 74 5c 5d 0d 0a 5c 5b | 5c 4c 3d 4d 5f 7b 44 53 |dt\]..\[|\L=M_{DS|
|00005c60| 7d 2b 5c 6f 6d 65 67 61 | 5f 7b 44 53 7d 2b 5c 4f |}+\omega|_{DS}+\O|
|00005c70| 6d 65 67 61 5f 7b 44 53 | 7d 2b 5c 70 70 6e 6f 20 |mega_{DS|}+\ppno |
|00005c80| 5c 6c 65 66 74 5b 0d 0a | 5c 64 66 72 61 63 33 32 |\left[..|\dfrac32|
|00005c90| 43 5f 31 5c 64 74 5e 32 | 5c 72 69 67 68 74 5d 5c |C_1\dt^2|\right]\|
|00005ca0| 5d 0d 0a 77 68 65 72 65 | 20 24 61 5f 7b 44 53 7d |]..where| $a_{DS}|
|00005cb0| 24 2c 20 24 65 5f 7b 44 | 53 7d 24 2c 20 24 4d 5f |$, $e_{D|S}$, $M_|
|00005cc0| 7b 44 53 7d 24 2c 20 24 | 5c 6f 6d 65 67 61 5f 7b |{DS}$, $|\omega_{|
|00005cd0| 44 53 7d 24 2c 20 61 6e | 64 20 24 5c 4f 6d 65 67 |DS}$, an|d $\Omeg|
|00005ce0| 61 5f 7b 44 53 7d 24 2c | 20 61 72 65 20 74 68 65 |a_{DS}$,| are the|
|00005cf0| 0d 0a 76 61 6c 75 65 73 | 20 6f 66 20 24 6e 5f 6f |..values| of $n_o|
|00005d00| 24 2c 20 24 65 5f 6f 24 | 2c 20 24 4d 5f 7b 44 46 |$, $e_o$|, $M_{DF|
|00005d10| 7d 24 2c 20 24 5c 6f 6d | 65 67 61 5f 7b 44 46 7d |}$, $\om|ega_{DF}|
|00005d20| 24 2c 20 61 6e 64 20 24 | 5c 4f 6d 65 67 61 24 20 |$, and $|\Omega$ |
|00005d30| 61 66 74 65 72 20 64 65 | 65 70 2d 73 70 61 63 65 |after de|ep-space|
|00005d40| 0d 0a 73 65 63 75 6c 61 | 72 20 61 6e 64 20 72 65 |..secula|r and re|
|00005d50| 73 6f 6e 61 6e 63 65 20 | 70 65 72 74 75 72 62 61 |sonance |perturba|
|00005d60| 74 69 6f 6e 73 20 68 61 | 76 65 20 62 65 65 6e 20 |tions ha|ve been |
|00005d70| 61 70 70 6c 69 65 64 2e | 0d 0a 0d 0a 48 65 72 65 |applied.|....Here|
|00005d80| 20 53 44 50 34 20 63 61 | 6c 6c 73 20 74 68 65 20 | SDP4 ca|lls the |
|00005d90| 70 65 72 69 6f 64 69 63 | 73 20 73 65 63 74 69 6f |periodic|s sectio|
|00005da0| 6e 20 6f 66 20 44 45 45 | 50 20 77 68 69 63 68 20 |n of DEE|P which |
|00005db0| 61 64 64 73 20 74 68 65 | 20 64 65 65 70 2d 73 70 |adds the| deep-sp|
|00005dc0| 61 63 65 20 6c 75 6e 61 | 72 0d 0a 61 6e 64 20 73 |ace luna|r..and s|
|00005dd0| 6f 6c 61 72 20 70 65 72 | 69 6f 64 69 63 73 20 74 |olar per|iodics t|
|00005de0| 6f 20 74 68 65 20 6f 72 | 62 69 74 61 6c 20 65 6c |o the or|bital el|
|00005df0| 65 6d 65 6e 74 73 20 28 | 73 65 65 20 53 65 63 74 |ements (|see Sect|
|00005e00| 69 6f 6e 20 54 65 6e 29 | 2e 20 20 46 72 6f 6d 20 |ion Ten)|.  From |
|00005e10| 74 68 69 73 0d 0a 70 6f | 69 6e 74 20 6f 6e 2c 20 |this..po|int on, |
|00005e20| 69 74 20 77 69 6c 6c 20 | 62 65 20 61 73 73 75 6d |it will |be assum|
|00005e30| 65 64 20 74 68 61 74 20 | 24 6e 24 2c 20 24 65 24 |ed that |$n$, $e$|
|00005e40| 2c 20 24 49 24 2c 20 24 | 5c 6f 6d 65 67 61 24 2c |, $I$, $|\omega$,|
|00005e50| 20 24 5c 4f 6d 65 67 61 | 24 2c 20 61 6e 64 20 24 | $\Omega|$, and $|
|00005e60| 4d 24 0d 0a 61 72 65 20 | 74 68 65 20 6d 65 61 6e |M$..are |the mean|
|00005e70| 20 6d 6f 74 69 6f 6e 2c | 20 65 63 63 65 6e 74 72 | motion,| eccentr|
|00005e80| 69 63 69 74 79 2c 20 69 | 6e 63 6c 69 6e 61 74 69 |icity, i|nclinati|
|00005e90| 6f 6e 2c 20 61 72 67 75 | 6d 65 6e 74 20 6f 66 20 |on, argu|ment of |
|00005ea0| 70 65 72 69 67 65 65 2c | 20 6c 6f 6e 67 69 74 75 |perigee,| longitu|
|00005eb0| 64 65 0d 0a 6f 66 20 61 | 73 63 65 6e 64 69 6e 67 |de..of a|scending|
|00005ec0| 20 6e 6f 64 65 2c 20 61 | 6e 64 20 6d 65 61 6e 20 | node, a|nd mean |
|00005ed0| 61 6e 6f 6d 61 6c 79 20 | 61 66 74 65 72 20 6c 75 |anomaly |after lu|
|00005ee0| 6e 61 72 2d 73 6f 6c 61 | 72 20 70 65 72 69 6f 64 |nar-sola|r period|
|00005ef0| 69 63 73 20 68 61 76 65 | 20 62 65 65 6e 0d 0a 61 |ics have| been..a|
|00005f00| 64 64 65 64 2e 0d 0a 0d | 0a 41 64 64 20 74 68 65 |dded....|.Add the|
|00005f10| 20 6c 6f 6e 67 2d 70 65 | 72 69 6f 64 20 70 65 72 | long-pe|riod per|
|00005f20| 69 6f 64 69 63 20 74 65 | 72 6d 73 0d 0a 5c 5b 61 |iodic te|rms..\[a|
|00005f30| 5f 7b 78 4e 7d 3d 65 5c | 63 6f 73 5c 6f 6d 65 67 |_{xN}=e\|cos\omeg|
|00005f40| 61 5c 5d 0d 0a 5c 5b 5c | 62 65 74 61 3d 5c 73 71 |a\]..\[\|beta=\sq|
|00005f50| 72 74 7b 28 31 2d 65 5e | 32 29 7d 5c 5d 0d 0a 5c |rt{(1-e^|2)}\]..\|
|00005f60| 5b 5c 4c 5f 4c 3d 5c 64 | 66 72 61 63 7b 41 5f 7b |[\L_L=\d|frac{A_{|
|00005f70| 33 2c 30 7d 5c 73 69 6e | 20 69 5f 6f 7d 7b 38 6b |3,0}\sin| i_o}{8k|
|00005f80| 5f 32 61 5c 62 65 74 61 | 5e 32 7d 28 65 5c 63 6f |_2a\beta|^2}(e\co|
|00005f90| 73 5c 6f 6d 65 67 61 29 | 0d 0a 5c 6c 65 66 74 28 |s\omega)|..\left(|
|00005fa0| 5c 64 66 72 61 63 7b 33 | 2b 35 5c 74 68 65 74 61 |\dfrac{3|+5\theta|
|00005fb0| 7d 7b 31 2b 5c 74 68 65 | 74 61 7d 5c 72 69 67 68 |}{1+\the|ta}\righ|
|00005fc0| 74 29 5c 5d 0d 0a 5c 5b | 61 5f 7b 79 4e 4c 7d 3d |t)\]..\[|a_{yNL}=|
|00005fd0| 5c 64 66 72 61 63 7b 41 | 5f 7b 33 2c 30 7d 5c 73 |\dfrac{A|_{3,0}\s|
|00005fe0| 69 6e 20 69 5f 6f 7d 7b | 34 6b 5f 32 61 5c 62 65 |in i_o}{|4k_2a\be|
|00005ff0| 74 61 5e 32 7d 5c 5d 0d | 0a 5c 5b 5c 4c 5f 54 3d |ta^2}\].|.\[\L_T=|
|00006000| 5c 4c 2b 5c 4c 5f 4c 5c | 5d 0d 0a 5c 5b 61 5f 7b |\L+\L_L\|]..\[a_{|
|00006010| 79 4e 7d 3d 65 5c 73 69 | 6e 5c 6f 6d 65 67 61 2b |yN}=e\si|n\omega+|
|00006020| 61 5f 7b 79 4e 4c 7d 2e | 5c 5d 0d 0a 0d 0a 53 6f |a_{yNL}.|\]....So|
|00006030| 6c 76 65 20 4b 65 70 6c | 65 72 27 73 20 65 71 75 |lve Kepl|er's equ|
|00006040| 61 74 69 6f 6e 20 66 6f | 72 20 24 5c 45 70 6f 24 |ation fo|r $\Epo$|
|00006050| 20 62 79 20 64 65 66 69 | 6e 69 6e 67 0d 0a 5c 5b | by defi|ning..\[|
|00006060| 55 3d 5c 4c 5f 54 2d 5c | 4f 6d 65 67 61 5c 5d 0d |U=\L_T-\|Omega\].|
|00006070| 0a 61 6e 64 20 75 73 69 | 6e 67 20 74 68 65 20 69 |.and usi|ng the i|
|00006080| 74 65 72 61 74 69 6f 6e | 20 65 71 75 61 74 69 6f |teration| equatio|
|00006090| 6e 0d 0a 5c 5b 5c 45 70 | 6f 5f 7b 69 2b 31 7d 3d |n..\[\Ep|o_{i+1}=|
|000060a0| 5c 45 70 6f 5f 69 2b 5c | 44 65 6c 74 61 5c 45 70 |\Epo_i+\|Delta\Ep|
|000060b0| 6f 5f 69 5c 5d 0d 0a 77 | 69 74 68 0d 0a 5c 5b 5c |o_i\]..w|ith..\[\|
|000060c0| 44 65 6c 74 61 5c 45 70 | 6f 5f 69 20 3d 0d 0a 5c |Delta\Ep|o_i =..\|
|000060d0| 64 66 72 61 63 7b 55 2d | 61 5f 7b 79 4e 7d 5c 63 |dfrac{U-|a_{yN}\c|
|000060e0| 6f 73 5c 45 70 6f 5f 69 | 2b 61 5f 7b 78 4e 7d 5c |os\Epo_i|+a_{xN}\|
|000060f0| 73 69 6e 5c 45 70 6f 5f | 69 2d 5c 45 70 6f 5f 69 |sin\Epo_|i-\Epo_i|
|00006100| 7d 0d 0a 7b 2d 61 5f 7b | 79 4e 7d 5c 73 69 6e 5c |}..{-a_{|yN}\sin\|
|00006110| 45 70 6f 5f 69 2d 61 5f | 7b 78 4e 7d 5c 63 6f 73 |Epo_i-a_|{xN}\cos|
|00006120| 5c 45 70 6f 5f 69 2b 31 | 7d 5c 5d 0d 0a 61 6e 64 |\Epo_i+1|}\]..and|
|00006130| 0d 0a 5c 5b 5c 45 70 6f | 5f 31 3d 55 2e 5c 5d 0d |..\[\Epo|_1=U.\].|
|00006140| 0a 0d 0a 54 68 65 20 66 | 6f 6c 6c 6f 77 69 6e 67 |...The f|ollowing|
|00006150| 20 65 71 75 61 74 69 6f | 6e 73 20 61 72 65 20 75 | equatio|ns are u|
|00006160| 73 65 64 20 74 6f 20 63 | 61 6c 63 75 6c 61 74 65 |sed to c|alculate|
|00006170| 20 70 72 65 6c 69 6d 69 | 6e 61 72 79 20 71 75 61 | prelimi|nary qua|
|00006180| 6e 74 69 74 69 65 73 20 | 6e 65 65 64 65 64 0d 0a |ntities |needed..|
|00006190| 66 6f 72 20 73 68 6f 72 | 74 2d 70 65 72 69 6f 64 |for shor|t-period|
|000061a0| 20 70 65 72 69 6f 64 69 | 63 73 2e 0d 0a 5c 5b 65 | periodi|cs...\[e|
|000061b0| 5c 63 6f 73 20 45 3d 61 | 5f 7b 78 4e 7d 5c 63 6f |\cos E=a|_{xN}\co|
|000061c0| 73 5c 45 70 6f 2b 61 5f | 7b 79 4e 7d 5c 73 69 6e |s\Epo+a_|{yN}\sin|
|000061d0| 5c 45 70 6f 5c 5d 0d 0a | 5c 5b 65 5c 73 69 6e 20 |\Epo\]..|\[e\sin |
|000061e0| 45 3d 61 5f 7b 78 4e 7d | 5c 73 69 6e 5c 45 70 6f |E=a_{xN}|\sin\Epo|
|000061f0| 2d 61 5f 7b 79 4e 7d 5c | 63 6f 73 5c 45 70 6f 5c |-a_{yN}\|cos\Epo\|
|00006200| 5d 0d 0a 5c 5b 65 5f 4c | 3d 28 61 5f 7b 78 4e 7d |]..\[e_L|=(a_{xN}|
|00006210| 7b 7d 5e 32 2b 61 5f 7b | 79 4e 7d 7b 7d 5e 32 29 |{}^2+a_{|yN}{}^2)|
|00006220| 5e 7b 5c 66 72 61 63 31 | 32 7d 5c 5d 0d 0a 5c 5b |^{\frac1|2}\]..\[|
|00006230| 70 5f 4c 3d 61 28 31 2d | 65 5f 4c 7b 7d 5e 32 29 |p_L=a(1-|e_L{}^2)|
|00006240| 5c 5d 0d 0a 5c 5b 72 3d | 61 28 31 2d 65 5c 63 6f |\]..\[r=|a(1-e\co|
|00006250| 73 20 45 29 5c 5d 0d 0a | 5c 5b 5c 64 72 3d 6b 5f |s E)\]..|\[\dr=k_|
|00006260| 65 5c 64 66 72 61 63 7b | 5c 73 71 72 74 7b 61 7d |e\dfrac{|\sqrt{a}|
|00006270| 7d 72 65 5c 73 69 6e 20 | 45 5c 5d 0d 0a 5c 5b 72 |}re\sin |E\]..\[r|
|00006280| 5c 64 66 3d 6b 5f 65 5c | 64 66 72 61 63 7b 5c 73 |\df=k_e\|dfrac{\s|
|00006290| 71 72 74 7b 70 5f 4c 7d | 7d 72 5c 5d 0d 0a 5c 5b |qrt{p_L}|}r\]..\[|
|000062a0| 5c 63 6f 73 20 75 3d 5c | 64 66 72 61 63 7b 61 7d |\cos u=\|dfrac{a}|
|000062b0| 72 5c 6c 65 66 74 5b 5c | 63 6f 73 5c 45 70 6f 2d |r\left[\|cos\Epo-|
|000062c0| 61 5f 7b 78 4e 7d 2b 5c | 64 66 72 61 63 7b 61 5f |a_{xN}+\|dfrac{a_|
|000062d0| 7b 79 4e 7d 28 65 5c 73 | 69 6e 20 45 29 7d 7b 31 |{yN}(e\s|in E)}{1|
|000062e0| 2b 5c 73 71 72 74 7b 31 | 2d 65 5f 4c 7b 7d 5e 32 |+\sqrt{1|-e_L{}^2|
|000062f0| 7d 7d 5c 72 69 67 68 74 | 5d 5c 5d 0d 0a 5c 5b 5c |}}\right|]\]..\[\|
|00006300| 73 69 6e 20 75 3d 5c 64 | 66 72 61 63 7b 61 7d 72 |sin u=\d|frac{a}r|
|00006310| 5c 6c 65 66 74 5b 5c 73 | 69 6e 5c 45 70 6f 2d 61 |\left[\s|in\Epo-a|
|00006320| 5f 7b 79 4e 7d 2d 5c 64 | 66 72 61 63 7b 61 5f 7b |_{yN}-\d|frac{a_{|
|00006330| 78 4e 7d 28 65 5c 73 69 | 6e 20 45 29 7d 7b 31 2b |xN}(e\si|n E)}{1+|
|00006340| 5c 73 71 72 74 7b 31 2d | 65 5f 4c 7b 7d 5e 32 7d |\sqrt{1-|e_L{}^2}|
|00006350| 7d 5c 72 69 67 68 74 5d | 5c 5d 0d 0a 5c 5b 75 3d |}\right]|\]..\[u=|
|00006360| 5c 74 61 6e 5e 7b 2d 31 | 7d 5c 6c 65 66 74 28 5c |\tan^{-1|}\left(\|
|00006370| 64 66 72 61 63 7b 5c 73 | 69 6e 20 75 7d 7b 5c 63 |dfrac{\s|in u}{\c|
|00006380| 6f 73 20 75 7d 5c 72 69 | 67 68 74 29 5c 5d 0d 0a |os u}\ri|ght)\]..|
|00006390| 5c 5b 5c 44 65 6c 74 61 | 20 72 3d 5c 64 66 72 61 |\[\Delta| r=\dfra|
|000063a0| 63 7b 6b 5f 32 7d 7b 32 | 70 5f 4c 7d 28 31 2d 5c |c{k_2}{2|p_L}(1-\|
|000063b0| 74 68 65 74 61 5e 32 29 | 5c 63 6f 73 20 32 75 5c |theta^2)|\cos 2u\|
|000063c0| 5d 0d 0a 5c 5b 5c 44 65 | 6c 74 61 20 75 3d 2d 5c |]..\[\De|lta u=-\|
|000063d0| 64 66 72 61 63 7b 6b 5f | 32 7d 7b 34 70 5f 4c 7b |dfrac{k_|2}{4p_L{|
|000063e0| 7d 5e 32 7d 28 37 5c 74 | 68 65 74 61 5e 32 2d 31 |}^2}(7\t|heta^2-1|
|000063f0| 29 5c 73 69 6e 20 32 75 | 5c 5d 0d 0a 5c 5b 5c 44 |)\sin 2u|\]..\[\D|
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